คณิตศาสตร์

จากกราฟ PP และ QQ เป็นจุดที่กราฟเกิดการเปลี่ยนลักษณะระหว่างฟังก์ชันเพิ่มกับฟังก์ชันลด ซึ่งเราเรียก PP และ QQ ว่าเป็น จุดวกกลับ ของกราฟ จะสังเกตเห็นว่า เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดวกกลับทั้งสองจุดมีลักษณะขนานกับแกน xx นั่นคือมีความชันเป็น 00 หรืออาจกล่าวว่า f′(a)=0f′(a)=0 และ f′(b)=0f′(b)=0

เราเรียกค่า aa และ bb ว่า ค่าวิกฤต (critical value) ของฟังก์ชัน ff ซึ่งนำไปสู่บทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม


ให้ ff เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง AA ค่าของ c∈Ac∈A ซึ่งทำให้ f′(c)=0f′(c)=0 เรียกว่า ค่าวิกฤต ของฟังก์ชัน ff
สำหรับจุดวกกลับนั้น เราเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า จุดวิกฤต (critical point) เป็นจุดบนกราฟที่มีค่าของ
xx เท่ากับค่าวิกฤต cc กล่าวคือ จุดวิกฤตของฟังก์ชัน y=f(x)y=f(x) จะมีพิกัดที่ (c,f(c))(c,f(c)) สรุปเป็นบทนิยามคือ

บทนิยาม
ให้ ff เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง AA และมี c∈Ac∈A เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน จะได้ (c,f(c))(c,f(c)) เป็น จุดวิกฤต ของฟังก์ชัน
สำหรับจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y=f(x)y=f(x) มี 2 ลักษณะ คือเป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงใดช่วงหนึ่ง เราเรียก จุดสูงสุดสัมพัทธ์ และ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ สังเกตกราฟต่อไปนี้

ให้ a<c<ba<c<b กราฟมีจุด PP เป็นจุดวิกฤต จุด AA เป็นจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของ PP และจุด BB เป็นจุดที่อยู่ทางขวามือของ PP จากรูป ถ้า PP เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์แล้ว ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางซ้ายมือของ PP มีค่าเป็นบวก และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางขวามือของ PP มีค่าติดลบ

ในทำนองเดียวกัน หากจุด PP เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางซ้ายมือของ PP มีค่าติดลบ และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางขวามือของ PP มีค่าเป็นบวก
เราสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทในการตรวจสอบจุดวิกฤตว่ามีลักษณะเป็นอย่างไรได้ ดังนี้

ทฤษฎีบท

ให้ ff เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง AA และมี c∈Ac∈A เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน สำหรับทุกๆ a,b∈Aa,b∈A โดยที่ a<c<ba<c<b
1. ถ้า f′(a)>0f′(a)>0 และ f′(b)<0f′(b)<0 แล้ว f(c)f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ (c,f(c))(c,f(c)) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
2. ถ้า f′(a)<0f′(a)<0 และ f′(b)>0f′(b)>0 แล้ว f(c)f(c) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ (c,f(c))(c,f(c)) เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน